Решение простых линейных уравнений

Простые уравнения представляют собой распространенный вид математического равенства, широко используемый для формулирования и решения разнообразных задач. Как во время обучения в школе (начиная с 7 класса и вплоть до выпуска из учебного заведения), так и позднее – при осуществлении профессиональной деятельности. Несмотря на кажущуюся примитивность, простые линейные управления активно применяются для расчета доходов, прибыли, скорости и решения множества других чисто практических задач. Рассмотрим более внимательно, что представляют собой простые линейные уравнения, каковы основные способы их решения, а также примеры типовых задач.

Уравнение: определение и виды

Под уравнением в математике принято понимать равенство, содержащее одну или несколько неизвестных. Решение представляет собой поиск таких значений неизвестных, при подстановке которых в уравнение образуется правильное тождество. Полученное значение называется корнем уравнения. Полноценным решением становится установление всех возможных корней или доказательство их отсутствия.

Пример обычного уравнения: 6 + х = 12, где х – это неизвестная переменная. В результате несложного решения можно получить корень, равный 6. Он является единственным корнем данного уравнения.

Уравнения в математике делятся на несколько видов:

1. Линейные. Имеют вид aх + b = 0, где х – неизвестная величина, а и b – числа.
2. Квадратные. Предусматривают наличие трех членов и имеют следующий вид: aх² + bх + с = 0, где добавляется еще одно число – с.
3. Другие, более сложные (кубические, четвертой степени, рациональные и иррациональные, системы алгебраических уравнений и т.д.), которые не относятся к рассматриваемой теме.

Здесь же необходимо отметить еще два немаловажных нюанса. Первый касается так называемых равносильных уравнений, которые являются тождественными для совпадающих решений. Второй связан с составной частью уравнений под названием числовые коэффициенты. Так называются числа, стоящие при неизвестной. Например, в линейных уравнениях числовым коэффициентом становится а, в квадратных – а и b.

Определение и особенности простых линейных уравнений

Простые линейные уравнения часто называют линейными, опуская первое слово. Их решение предусматривает использование двух несложных правил, каждое из которых имеет смысл описать несколько подробнее.

1. Правило переноса, которое заключается в смене знака членом уравнения при переносе из левой части в правую или наоборот. В результате исходное уравнение вида 2 + х = 7 можно преобразовать в х = 7 – 2, где число 2 при переносе сменило знак на противоположный.
2. Правило деления, допускающее возможность разделить обе части уравнения на одно и то же число. Например, уравнение 3х = 9 может быть преобразовано в х = 3 посредством деления каждой части на 3.

Как решать простые уравнения?

На основании описанных выше правил можно составить стандартный алгоритм решения простых линейных уравнений. Он выглядит следующим образом:

1. Сначала раскрывают скобки (при их наличии).
2. Затем производится группировка членов, при которой неизвестные переменные переносятся в левую часть, а все остальные – в правую.
3. Далее нужно привести подобные члены в каждой из частей уравнения (что дает на выходе тождество виде aх = b).
4. На завершающем этапе обе части уравнения делятся на коэффициент а, стоящий при неизвестной переменной.
5. Итог является решением уравнения.

Допустимые результаты выполнения приведенной выше пошаговой инструкции можно представить так:

1. Если а не равняется 0, то корень уравнения х = b/a.
2. Если а = 0 и b не равняется нулю, уравнение не имеет корней, то есть решение можно обозначить как пустое множество.
3. Если и а, и b равняются нулю, решением (то есть корнем) уравнения выступает любое число.

Онлайн-калькуляторы – обзор

Простые линейные уравнения можно решать как вручную, так и с помощью разнообразных вспомогательных онлайн-сервисов. Количество последних очень велико, причем большая часть доступны совершенно бесплатно и даже не требуют регистрироваться на сайте. В качестве типичных примеров подобных интернет-ресурсов можно привести такие:

• https://mathsolver.microsoft.com/ru/topic/algebra/linear-equations;
• https://calculatoralgebra.com/ru/linear-equations;
• https://calc-best.ru/matematicheskie/linejnye-uravneniya;
• https://mathcracker.com/ru/калькулятор-решения-линейных-уравнений;
• https://ru.symbolab.com/solver/linear-equation-calculator.

Примеры уравнений, задач и их решение

Алгоритм решения линейных уравнений достаточно прост. Для закрепления теории практикой целесообразно привести хотя бы пару примеров.

Задача 1. 20х + 10 = 15.

Решение выполняется следующим образом:

1. Скобки раскрывать не нужно.
2. 10 переносится в правую часть со знаком минус (20х = 15-10 = 5).
3. Корнем уравнения становится х = 5/20 = 0,25.

Задача 2. 3(х-2) + 2 (х+4) = 15.

Решение выглядит так:

1. Сначала раскрываются скобки: 3х – 6 + 2х + 8 = 15.
2. Далее однотипные члены группируются по разным частям уравнения: 3х + 2х = 15 + 6 – 8 (важно помнить про смену знака при переносе в другую часть равенства).
3. Выполняется приведение подобных членов: 5х = 13.
4. Корнем уравнения становится х = 13/5 = 2,6.

FAQ

Что понимается под простым линейным уравнением?

Равенство вида aх + b = 0, в котором х является неизвестной переменной (ее нужно найти), a и b – действительными числами.

Как решать линейные уравнения?

Для решения линейных уравнений используются два основных правила: переноса и деления. Непосредственно процесс поиска корня предусматривает следующие действия ученика:

• раскрытие скобок;
• группировка однотипных членов в разных частях уравнения;
• приведение подобных членов;
• определение корня делением числа справа от равенства на числовой коэффициент (стоящий при переменной).

Можно ли воспользоваться онлайн-калькулятором для решения линейных уравнений?

Да, количество таких интернет-ресурсов очень велико. Они доступны в бесплатном режиме, причем большинство - даже без регистрации.

Вывод

1. Простыми линейными уравнениями называются равенства вида ах + b = 0, в котором х является неизвестной переменной (ее нужно найти), a и b – действительными числами.
2. Для решения уравнения применяются два правила: переноса и деления.
3. Пошаговая инструкция поиска корня линейного уравнения предусматривает выполнение следующих действий:
   1. раскрытие скобок (при наличии);
   2. группировка подобных членов по разным частям тождества;
   3. приведение однотипных членов;
   4. расчет корня уравнения делением числа справа от знака равенства на числовой коэффициент при неизвестной переменной.