Обыкновенные дроби

Понятие дроби изучают в 5 классе. Тема интересная, но непростая. Расскажем простыми словами про обыкновенные дроби и калькулятор дробей, который может помочь в решении не только школьных задач.

Понятие дробей зародилось в античные времена. Первые упоминания о математическом использовании дробных выражений встречаются в истории Древнего Египта, Греции и Китая. Сам термин имеет латинские корни и дословно переводится “ломать”.

Обыкновенная дробь – доля целого

Для примера возьмем пирог и поделим его на 6 равных частей. Цифра шесть обозначает общее количество долей. Мы можем взять одну долю от пирога. То есть одну шестую его часть.

Можем взять сразу две доли, две шестых от целого. Или же пять долей — пять шестых.

Таким образом, становится очевидно, что доля — это одна из частей целого. Количество долей зависит от того, насколько частей был поделен объект. Дробь же указывает, сколько частей целого было взято из их общего количества.

Числитель дроби (число над чертой) — это то, сколько долей от целого было отнято или осталось (зависит от контекста). Знаменатель (число под чертой) — их общее число. 

То же правило действует на другие предметы и величины. Хорошим примером является мандарин. Очистив и разделив цитрус, получаем несколько одинаковых долек. Допустим, их число равно 9. Каждая доля будет определяться как одна девятая от целого.

• ½ — половина целого;
• ⅓ — треть целого;
• ¼ — четверть целого.

Изучение дробей имеет практическое значение. С дробными величинами человек сталкивается в самых разных сферах, на работе и быту. Например, панно может занимать ¼ часть стены, а его ширина равняться ½ метра (50 см).

Как устроена обыкновенная дробь

Дробь имеет вид a/b, где a и b — это любое число. Естественно, кроме ноля. На ноль делить нельзя. Такое выражение не имеет смысла, а значит считается ошибкой.

Дроби записываются при помощи горизонтальной линии, символизирующий знак деления.

Числителем дроби (a/b) является натуральное число a. Его записывают над чертой.

Знаменатель (a/b) — натуральное число b. Оно, в свою очередь, указывается под дробной чертой.

Пример: в дроби 5/8, 5 — это числитель, а 8 — знаменатель.

Дроби, числитель и знаменатель которых состоят из разных натуральных чисел, считаются равными, если справедливо следующие утверждение:

• для a/b и c/d: a*d=b*c.

Если равенство неверное, то дроби, соответственно, неравные.

Как устроена десятичная дробь

Внешне десятичная дробь отличается от обыкновенной. Однако путь ее образования аналогичен предыдущему виду за тем лишь исключением, что в знаменателе всегда указывается число, состоящие из единицы и нулей: 10, 199, 1000, 10 000 и т.д.

Десятичную дробь принято записывать в строку. Целая часть отделяется от дробной запятой. Если целая часть отсутствует, на ее месте указывается ноль. Примеры десятичных дробей:

• 5,36;
• 1,8;
• 0,34.

Десятичную дробь всегда можно представить в виде обыкновенной: 0,5 = 5/10; 0,23 = 23/100.

Десятичные дроби бывают конечными и бесконечными (иррациональными). В первом случае количество цифр после запятой точно известно.

Иррациональные дроби после запятой имеют бесконечное цифровое множество. Самый известный пример число пи. После запятой оно представлено бесконечным числом знаков. Определить точное значение пи невозможно. В математике принято сокращать его до трех или десяти символов: 3,14 или 3,1415926535. Для расчетов чаще используется второй вариант.

Свойства дробей

Существует ряд свойств, которые характерны для всех обыкновенных дробей:

1. Увеличение числителя в несколько раз, увеличивает в столько же раз дробь. Например, есть дробь ½. Увеличим числитель в 6 раз. Получаем дробь 6/2. Разделим 6/2 на ½. В результате получаем цифру 6.
2. При уменьшении числителя в несколько раз, в столько же раз уменьшается дробь. Допустим существует дробь 6/12. Уменьшим числитель в 6 раз, получим 1/12. Разделим 6/12 на 1/12, получаем 6.
3. Увеличение знаменателя в несколько раз, уменьшает в столько же раз значение дроби. Возьмем дробь ½ и увеличим ее знаменатель в 2 раза (1/4). Разделим ½ на ¼. Получается 2.
4. Уменьшение знаменателя в несколько раз, напротив, увеличивает общее значение дроби во столько же раз. Например, есть дробь 2/6. Уменьшим ее знаменатель в 2 раза (2/3). Для определения верности утверждения разделим ⅔ на 2/6. Получаем число 2.
5. Из перечисленных выше свойств следует, что если умножить (разделить) числитель и знаменатель на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Это одно из важнейших свойств обыкновенной дроби. Рассмотрим его доказательство.

Допустим, существует дробь 2/3. Умножим числитель и знаменатель на 3 и получим дробь 6/9. Чтобы доказать, что дроби равны, воспользуемся приведенной ранее формулой: a*d=b*c, где вместо выражения a/b используем дробь 2/3, а вместо c/d — 6/9.

• 2*9 = 3*6, то есть 18 = 18. Что и следовало доказать.

Кроме обыкновенных дробей, существуют смешанные и неправильные. Смешанной называется дробь, состоящая из целой и дробной частей. Целое числовое выражение записывается перед дробным:

• 11 3/7;
• 123 5/12;
• 53 7/12.

У неправильной дроби числитель всегда больше знаменателя (пример, 234/21). Глядя на такую дробь, становится очевидно, что ее можно превратить в смешанную путем выделения целой части.

То же правило относится к смешанной дроби. Чтобы получить неправильную дробь, целое число умножают на числитель.

Допустим, есть неправильная дробь 13/5. Выделим целую часть: 13 разделим на 5. Получается 2 с остатком 3. Смешанная дробь будет выглядеть так: 2 ⅗.

Действия с дробями

С дробями, как и любыми числовыми выражениями, можно осуществлять умножение, деление, вычитание и сложение. Однако, в отличии от простых чисел, эти действия имеют свои особенности. Кроме того, дроби можно сокращать.

Сокращение дробей

Согласно одному из свойств дробей, числитель и знаменатель можно разделить на одно и то же число, что нисколько не повлияет на значение дроби.

Пример: существует дробь 12/36. Разделим числитель и знаменатель на 12. И в итоге получаем дробь 1/3.

Подобрать делитель не всегда получается с первого раза. Вот несколько советов, как найти подходящее число:

• если числитель и знаменатель заканчиваются на четное число, значит они делятся на 2;
• если сумма всех цифр числа делится на 3, то и само число делится без остатка на 3;
• если число заканчивается на 0 или 5, то оно кратно 5;
• если сумма последних 2 цифр кратна 4, то и число делится на 4.

Зачем сокращать дроби? С дробями, числитель и знаменатель которых представлен простыми числами, легче работать: складывать, умножать и т.д. К тому же такая запись считается более корректной. Именно ее просят указать в ответе при решении примеров и задач.

Умножение

Умножение — распространенное действие, совершаемое с дробями. Выполнить его не сложно. Главное соблюдать следующее правило:

• числитель одной дроби умножается на числитель другой, а знаменатель на знаменатель.

В ходе выполнения действия множители в числители и знаменатели искомой дроби можно сокращать в соотношении крест-накрест. То есть, числитель одной дроби можно разделить на одно число со знаменателем другой.

Вычитание

Вычитание дробей наряду с умножением имеет свои особенности. Самое важное, привести дроби к одному знаменателю. Разность дробей с разными знаменателями найти нельзя. Это считается ошибкой.

После того как дроби будут приведены к одинаковому знаменателю (основанию), из

уменьшаемого (числителя первой дроби) отнимается вычитаемое (числитель второй дроби). Знаменатель остается неизменным.

Найти разность смешанных дробей можно двумя способами:

1. Привести дроби в неправильные. Найти общий знаменатель. Отнять из числителя первой числитель второй дроби;
2. Отдельно вычислить разность целых значений и дробных. Указав их значение в ответе. 

Деление

Деление дробей тесно связано с умножением. Правило гласит:

• чтобы найти частное дробей, числитель первой дроби умножают на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй.

Проще говоря, первую дробь умножают на дробь, обратную той, что представлена в условии задачи.

Сложение

Сумма дробей — это сумма их числителей при общем знаменателе. Если знаменатель у дробей разный, то алгоритм следующий:

• дроби приводят к общему знаменателю;
• находят сумму числителей;
• при необходимости сокращают дробь или выделяют целое значение.

В случае смешанных дробей, целое и дробное значения складываются отдельно.

Сравнение

Сравнивать можно только дроби с одинаковым знаменателем. Больше та дробь, чей числитель имеет большее значение. Например, 4/5 ＞2/5.

Если у дробей разные знаменатели, то сначала их приводят к общему знаменателю. И только после этого сравнивают числители.

Калькуляторы – обзор

Fraction Calculator

Один из лучших калькуляторов дробей. Работает в режиме онлайн, так и существует версия для скачивания на Андроид. Интерфейс представлен двумя блоками из цифр: для обычных вычислений и дробных. Последний расположен с правой стороны экрана.

Пользоваться Fraction Calculator удобно благодаря простой, но, в то же время, продуманной панели управления. Пользователям доступны базовые действия: умножение, вычитание, деление и сложение дробей. 

BRAUBERG SC-880-N

Современный портативный калькулятор. Имеет много встроенных функций, удобный, легкий и компактный. Работает с десятичными и обыкновенными дробями. Подходит как для несложных вычислений, так и профессиональной деятельности.

Разберем примеры – задачи и их решение

1. Какую часть метра составляет 1 дм? 2 дм и 5 дм?

Решение: 1 м = 10 дм. Значит 1 метр можно разделить на 10 равных частей, равных 1 дм. Соответственно, 1 дм составляет 1/10 м.

Рассуждая аналогичным способом, получаем, что:

• 2 дм — это 2/10 м или ⅕ м. Последнее значение получается в результате деления числителя и знаменателя на 2;
• 5 дм — это 5/10 м или ½ часть метра. То есть его половина.

Ответ: 1 дм = 1/10 м. 2 дм = ⅕ м. 5 дм = ½ м или его половине.

2. Запишите дробь семь девятых

Решение: первое слово указывает на величину числителя, второе — знаменателя. Ответ: 7/9.

3. Расстояние от города А до города Б 20 км. Автомобиль преодолел одну четвертую часть пути. Какое расстояние ему предстоит проехать?

Решение: общая длина дороги равна 20 км. Автомобилист проехал ¼ часть. Ему осталось преодолеть еще 3/4 пути. Значит 20 * ¾ = 15 км.

Ответ: 15 км.

FAQ

Что такое знаменатель дроби?

Знаменатель показывает на сколько частей разделено целое.

Что такое числитель дроби?

Числитель — число, указывающие на количество взятых частей.

Как правильно прочитать дробь?

Вначале называется числитель (число над дробью), затем знаменатель (число под дробной чертой). К числителю задается вопрос сколько?, к знаменателю каких?

Выводы

Дробь имеет важное значение во многих сферах человеческой жизни. Например, в химии необходимо точно отмерить определенную часть от общей массы вещества во время опыта. В строительстве дроби необходимы для составления проектов, замера территорий, изображения чертежей. Дроби встречаются повсюду, поэтому так важно уметь ими пользоваться.