Как решать задачи с процентами?

Задачи с процентами широко применяются как в рамках школьного обучения, так и в различных сферах профессиональной деятельности. Особенно часто – в экономике, финансах, бизнесе, торговле и т.д. Поэтому имеет смысл уделить изучению темы в школе особенно пристальное внимание. Проценты начинают изучать в 5-6 классах, хотя задачи с их использованием встречаются вплоть до выпуска из школы. Рассмотрим более внимательно, что представляют собой и какие бывают задачи с процентами, а также наиболее эффективные способы их решения.

Определения по теме

Процентом называют сотую долю (часть) целого. Она обозначает как %. Термин переводится как «со ста» или «за сотню». Математическая запись процента выглядит следующим образом: 1% = 1/100 = 0,01.

Широкое и практически повсеместное использование процентов объясняется удобством. Дело в том, что намного проще и нагляднее оперировать записью 10% или 25%, чем 0,1 или 0,25. Тем более – когда речь идет о регулярных и многочисленных выплатах банку, расчете рентабельности или определении уровня износа. Отдельно стоит отметить легкость взаимодействия процентов с десятичными дробями. Они предельно просто трансформируются друг в друга, что выступает еще одним важным аргументом в пользу применения %%.

Сегодня проценты активно применяются буквально везде, начиная с самых простых бизнес-планов и заканчивая сложными экономическими или финансовыми аналитическими расчетами. Именно поэтому стоит внимательно изучить тему как можно раньше. Желательно – еще в школе. Тем более – такая возможность предоставляется всем пятиклассникам и шестиклассникам.

Типы задач

Проценты встречаются в задачах по математике, начиная с 5 и заканчивая 11 классом. С некоторой долей условности все подобные задания можно разделить на несколько типов. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в процессе обучения в школе.

№1. Расчет процента от числа

Самая простая разновидность рассматриваемого задания. Чтобы получить ответ, достаточно перемножить число на процент.

Проще и нагляднее всего объяснить суть подобной задачи на примере. Который выглядит следующим образом. Найти 20% от числа 220. Решение предусматривает перевод процентов в десятичную дробь (20% = 0,2), которая затем умножается на число (0,2*220). Результатом умножения становится ответ задачи, равный 44.

№2. Расчет числа по проценту

В этом случае исходное число делится на процент, что дает на выходе правильный ответ. Пример задачи выглядит так. Найти общее количество предметов, если известно, что 10% равняются 15 штукам. Для решения 10% переводится в 0,1, после чего 15 делится на 0,1. Ответ равняется 150 штукам.

№3. Расчет процентного соотношения

Очень частая задача. Предусматривает определение соотношения одного числа к другому в процентах. Для получения ответа первое делится на второе, после чего результат переводится в проценты умножением на 100%.

Пример. Нужно узнать, сколько процентов девушек в спортивной секции, если их количество равняется 30 при общем числе занимающихся, равном 120. Решение выглядит следующим образом:

1. Сначала первое число делится на второе: 30 / 120 = 0,25.
2. Полученный результат переводится в проценты: 0,25 * 100% = 25%.

Ответ: 25%.

№4. Расчет увеличения числа на процент

Если рост числа показан в процентах и требуется найти итоговое значение, необходимо исходное число умножить на заданный процент, а полученный результат добавить к исходному числу.

Пример. Необходимо узнать, какова стала зарплата после увеличения на 10% от исходного значения в 150 рублей.

Решение задачи выполняется в два действия:

1. Сначала определяется, на сколько выросла ЗП: 150 * 10% = 15 рублей.
2. Затем к исходному значению добавляется рост: 150 + 15 = 165 рублей.

Ответ 165 рублей.

№5. Расчет уменьшения числа на процент

Схема решения аналогичная описанной выше. Только изменения исходного числа не добавляется к нему, а вычитается, так как речь идет не о росте, а об уменьшении.

№6. Задачи с простыми процентами

Простыми называются проценты, которые начисляются на начальную сумму долга. Термин имеет непосредственное отношение к банковской деятельности и активно используется при выдаче и погашении кредитов, а также оформлении депозитов и вкладов.

Формула учета простого процента по кредиту или займу выглядит следующим образом:

S = a * (1 + y * x/100), где

• S – сумма долга с процентами;
• а – исходная сумма долга;
• у – количество временных периодов, когда начисляется процент;
• х – процентная ставка по кредиту/займу.

Пример. Сколько денег нужно вернуть банку через 2 года при размере кредита 1 млн. рублей и процентной ставке в 12% годовых.

Чтобы получить ответ, необходимо подставить данные в указанную выше формулу:

S = 1 000 000*(1+2*12/100) = 1 240 000 рублей.

Ответ: 1, 24 млн. рублей.

№7. Задачи со сложными процентами

Сложным называется процент, который начисляется не только на сумму основного долга, но и на ранее начисленные проценты. Такой вариант кредита является намного менее выгодным (если речь идет о депозите, то напротив – более выгодным) для клиента. Формула учета сложного процента более трудна для вычислений, так как содержит степень и выглядит следующим образом: S = a * (1 + x/100)^y, где используются те же обозначения, что в предыдущем разделе статьи.

Пример. Найти долг перед банком через 2 года при размере кредита в 100 тыс. рублей и процентной ставке 10% годовых.

Решение задачи предусматривает подстановку исходных данных в формулу сложного процента, что дает на выходе: S = 100 000 * (1+10/100)² = 121 000 рублей.

Ответ: 121 тыс. рублей.

Нахождение процентов – все способы

Для расчета процентов используются разные способы (некоторые уже встречались в приведенных выше примерах). Перечислим самые основные

1. Деление на 100. Дает на выходе значение 1%.
2. Составление пропорции. Речь идет о выражении типа: a / b = c / d. При этом речь в первой части равенства идет о части целого, например, 12% - это 15 штук. Во второй – об общем количестве, 100% - это 125 штук. С помощью пропорции можно рассчитать любое четвертое неизвестное, если три остальных значения известны.
3. Соотношение чисел. Еще один достаточно простой способ найти проценты. Предусматривает их перевод в простую дробь. Например, 10% это 1/10, 75% - это 3/4 и т.д. В некоторых случаях найти долю от целого с помощью дроби проще и быстрее, чем через проценты.

Решение задач с процентами – обзор онлайн-калькуляторов

В интернете можно найти множество онлайн-калькуляторов, способных решить задачи с процентами. Большая часть подобных программ функционирую бесплатно, многие – доступны для скачивания и установки на смартфоны. В качестве примера можно привести такие удобные и практичные в использовании онлайн-сервисы:

• https://allcalc.ru/node/867;
• https://matematika-club.ru/percent-calculator;
• https://ru.onlinemschool.com/math/assistance/percent/.

FAQ

Что понимается под процентами?

Это сотая часть целого.

Где они используются?

Процента применяются практически повсеместно. Особенно часто и активно – в финансах, банковской деятельности, бизнесе и т.д.

Как рассчитать процент?

Для расчета процентов используются разные способы: деление на 100%, составление пропорции или соотношение чисел.

Вывод

1. Процент представляет собой одну сотую часть или долю целого.
2. Он обозначается как %.
3. Проценты начинают изучать в 5 классе школы.
4. В дальнейшем задачи с процентами даются ученикам вплоть до выпуска.
5. Умение решать задачи с процентами необходимо для получения высокой оценки по алгебре и успешной сдачи ЕГЭ по математике.