Теорема Виета

Теорема Виета является одной из основных теорем алгебры, которая связывает коэффициенты многочлена с его корнями. Доказана она была французским математиком Франсуа Виета еще в XVI веке и с тех пор является важной составляющей решения алгебраических уравнений во всем мире.

Мы расскажем, что такое теорема Виета, в каких уравнениях применяется, какие взаимосвязи между членами уравнения она устанавливает, приведем несколько примеров.

Теорема Виета

С помощью теоремы Виета можно решать различные квадратные, кубические уравнения и уравнения в виде аxⁿ + bx^(n-1) + cx^(n-2) + ... + k = 0.

Согласно теореме Виета:

Сумма корней уравнения вида: аxⁿ + bx^(n-1) + cx^(n-2) + ... + k = 0 равна -b/a,

Где:

• a, b, c,... k - это коэффициенты многочлена;
• n - его степень.

Если целое рациональное уравнение степени n, приведенное к стандартному виду, имеет n различных действительных корней х₁, х₂…..х_n, то они удовлетворяют установленным равенствам.

Теорема Виета для квадратного уравнения

Квадратное уравнение – аx² + bx + c = 0

Теорема Виета для квадратного уравнения:

Сумма корней многочлена равна отрицательному коэффициенту при старшей степени этого многочлена, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно коэффициенту при свободном члене.

• x1+x2=−b/a.
• x1×x2=c/a.

Пример:

• Рассмотрим квадратное уравнение x² - 5x + 6 = 0.
• В данном случае a = 1, b = -5 и c = 6.
• Согласно теореме Виета, сумма корней будет равна -(-5)/1 = 5, а их произведение будет равно 6/1 = 6. Это означает, что корни данного уравнения будут 2 и 3.

Если первый коэффициент (а) равен 1, уравнение называют приведенным квадратным уравнением.

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения звучит так:

Сумма корней x1 и x2 приведенного квадратного уравнения

x2 + mx + n = 0 равна второму коэффициенту m, но с противоположным знаком, а произведение корней x1 и x2 будет равно свободному члену n.

• x1 + x2 = – m
• x1 × x2 = n

Теорема Виета для кубического уравнения

Для кубического уравнения вида ax³ + bx² + cx + d = 0, если α, β и γ являются корнями кубического уравнения, формулы Виета будут следующими:

• Сумма корней равна коэффициенту при квадрате переменной с обратным знаком и разделенному на коэффициент при старшей степени:
  α + β + γ = -b/a.
• Сумма произведений двух корней, взятых попарно, равна коэффициенту при линейной переменной и разделенному на коэффициент при старшей степени:
  αβ + αγ + βγ = c/a.
• Произведение всех трех корней равно постоянному члену и деленному на коэффициент при старшей степени:
  αβγ = -d/a.

Какие еще взаимосвязи устанавливает теорема

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами и корнями многочлена. Произведение всех корней равно по модулю к/а, где к – это свободный член многочлена, а a - коэффициент при самой высокой степени.

Также теорема Виета позволяет выразить коэффициенты многочлена через его корни. Например, при помощи суммы корней и их произведения можно получить квадратичное уравнение вида: x² - (сумма корней)x + (произведение корней) = 0.

Утверждение:

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x2 + bx + c = 0, называется обратным теореме Виета.

FAQ

В каких классах изучают теорему Виета?

Теорему Виета в приведенных квадратных уравнениях изучают в 8 классе на алгебре. Теорему Виета для рационального уравнения изучают в 9 классах физико-математических школ.

Как еще можно находить корни квадратного уравнения?

Корни квадратного уравнения можно также находить через дискриминант. Порядок вычисления дискриминанта:

D = b² − 4ac.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта:

D₁=k²−ac, где k=b/2.

Есть ли специальные онлайн-калькуляторы для решения квадратных уравнений?

Да, вы можете найти калькуляторы использования теоремы Виета для решения квадратных уравнений в интернете. Есть специальные сервисы, предлагающие произвести вычисления. Достаточно ввести само квадратное уравнение. Например, калькуляторы: kvadur, symbolab, mathdf.

Вывод

• Теорема Виета имеет множество применений в алгебре и математическом анализе. Она позволяет находить корни многочленов и выражать их через коэффициенты, что помогает упростить их дальнейший анализ и решение.
• Области применения теоремы широкие, ее используют в разных науках – математике, физике, экономике, везде, где требуется производить вычисления корней квадратных уравнений. Например, используя теорему, можно рассчитывать площади, определять уровень доходности или рассчитывать скорость объекта.