Теорема Пифагора

Теорема Пифагора имеет 367 доказательств. Но в рамках школьной программы изучают значительно меньше. Рассмотрим основные формулы и доказательство теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора – основные понятия и формула

Теорема Пифагора звучит так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.» Формула при этом выглядит следующим образом:

С у данного треугольника – гипотенуза, а и b – катеты.

Гипотенузой называют сторону, которая расположена напротив прямого угла. Катетом является одна из сторон, формирующих прямой угол.

Из этой формулы следует:

Доказательство теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов или квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

У нас есть треугольник АВС. Его угол С – прямой (∠С=90⁰). Нам требуется доказать, что а2+b2=с2.

Доказательство выглядит следующим образом:

• Из вершины С необходимо провести высоту СН на гипотенузу АВ.
• Прямоугольные треугольники ◺АСН и ◺АВС имеют подобные углы. ∠АСВ=∠СНА=90⁰. Угол А у них общий.
• Также подобны прямоугольные треугольники ◺СВН и ◺АВС, у которых ∠АСВ=∠СНВ=90⁰. ∠В у них общий.
• Обозначим ВС=а, АС=b, АВ=с. Отсюда получим: а:с=НВ:а, b:с=АН: b.
• Получаем а²=с*НВ, b²=с*АН.
• Складываем равенства:

Теорема доказана.

Доказательство обратной теоремы Пифагора

Треугольник, у которого сумма квадратов 2 сторон равняется квадрату третьей стороны, является прямоугольным. Рассмотрим доказательство этой теоремы.

Имеем ◺АВС

Нам необходимо доказать, что угол С прямой и равен 90⁰.

Доказательство будет выглядеть следующим образом:

• Построим угол, равный 90⁰. Его вершина располагается в точке С₁.
• На его сторонах отметим отрезки С₁А₁=СА и С₁В₁=СВ.
  
  
• Проведя отрезок А₁В₁, получим треугольник А₁В₁С₁. У него угол С – прямой и равен 90⁰.
  
  
• К треугольнику А₁В₁С₁ применим теорему Пифагора: А₁В₁²= А₁ С₁²+ В₁С₁².
• Отсюда получаем:
  
  
• В треугольниках АВС и А₁В₁С₁:
  СА= С₁ А₁ исходя из построения и АВ= А₁В₁ по доказанному результату.
• Следовательно ◺АВС=◺ А₁В₁С₁ по всем трем сторонам. Отсюда следует, что ∠С=∠С₁=90⁰.

А это и следовало доказать.

Разберем примеры – задачи и их решения

Рассмотрим несколько задач, решение которых основано на теореме Пифагора.

FAQ

Где можно применить теорему Пифагора?

Помимо решения задач в геометрии (определение расстояния или длин в прямоугольном треугольнике) данная теорема также используется в строительстве, физике, архитектуре, астрономии и даже литературе. Некоторых поэтов, она вдохновила на написание стихов. К примеру, немецкий писатель Адельберт фон Шамиссо написал следующий сонет:

Что такое Пифагоровы тройки?

Так называют наборы из 3 чисел (а, в и с) для которых уравнение а²+в²=с².

Вывод

Теорема Пифагора известна каждому школьнику. На ее основе строится масса других утверждений, которые помогают решать не только математические задачи, но и задания по физике, астрономии и другим наукам.