Равнобедренный треугольник

Изучение равнобедренного треугольника в школьном курсе геометрии уделяется немало времени. Что объясняется активным задействованием фигуры для решения различных задач. Рассмотрим более внимательно, что собой представляет равнобедренный треугольник, каковы его признаки и свойства, а также примеры задач с использованием распространенной фигуры.

Базовые определения

Равнобедренным называют треугольник, две стороны которого имеют одинаковую длину. Их обозначают как боковые. Третья сторона, которая может быть и длиннее, и короче остальных, называется основанием. Впервые понятие равнобедренного треугольника сформулировано еще в III веке до нашей эры древнегреческим математиком Евклидом, одним из родоначальников геометрии. Фигура выглядит следующим образом.

Боковые стороны – АВ и ВС – имеют равную длину. АС является основанием. Для дальнейшего рассмотрения темы необходимо дать еще три важных определения:

1. Биссектрисой называют луч, исходящий из вершины угла и разделяющий его пополам.
2. Медиана представляет собой отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника (в данном случае – равнобедренного) и середину противоположной стороны.
3. Под высотой понимается перпендикуляр, который соединяет вершину треугольника и противоположную сторону фигуры или на прямую, выступающей ее продолжением.

Признаки

Определить треугольник как равнобедренный несложно. Достаточно обнаружить несколько очень характерных признаков фигуры, главными из которых выступают:

• как минимум, две равных по длине стороны (возможна ситуация, когда все три являются одинаковыми);
• два равных угла (образуются каждой из боковых сторон и основанием);
• три важных геометрических параметра – биссектриса, медиана и высота – равны друг другу (важно отметить, что они строятся из вершины, прилегающей к боковым сторонам фигуры, на основание).

Основные свойства

Наиболее значимые свойства равнобедренного треугольника сформулированы в четырех теоремах. Они выглядят следующим образом:

1. Теорема 1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны друг другу.
2. Теорема 2. Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, одновременно является высотой и медианой.
3. Теорема 3. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, одновременно является высотой и биссектрисой.
4. Теорема 4. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, одновременно является биссектрисой и медианой.

Доказать каждую из перечисленных теорем не составляет труда. В основе лежат определение и признаки равнобедренного треугольника. Важно уметь не только доказывать теоремы о свойствах фигуры, но и уметь применять их на практике для решения задач.

Задачи – примеры и решения

Лучший способ закрепить теорию предусматривает решение практических задач. Ниже приводятся несколько типовых вместе с описанием процесса получения ответа.

Задача 1. Найти угол, противоположный основанию, если прилегающей к этой стороне равнобедренного треугольника равняется 75%.

Решение задачи включает несколько последовательных выводов и простых математических действий:

1. Второй угол при основании также равняется 75 градусов.
2. Сумма всех трех углов любого треугольника равняется 180 градусам.
3. Поэтому исковый угол составляет: 180 – 75- 75 = 30 градусов.

Ответ: 30 градусов.

Задача 2. Основание равнобедренного треугольника составляет 10 см. Периметр фигуры равняется 25 см. Нужно найти длину боковой стороны.

Решение задачи выглядит следующим образом:

1. Сначала определяется общая длина боковых сторон, для чего из периметра вычитается основание: 25 – 10 = 15 см.
2. Полученное значение делится на 2, так как боковые стороны равны друг другу: 15 / 2 = 7,5 см.

Ответ: 7,5 см.

Задача 3. Угол при основании равнобедренного треугольника составляет 45 градусов. Нужно найти остальные углы фигуры.

Решение задачи достигается так:

1. Второй угол при основании равен первому, то есть также составляет 45 градусов.
2. Общая сумма углов треугольника равняется 180 градусам.
3. Чтобы найти третий, необходимо из 180 вычесть 45 и 45, что даст на выходе 90 градусов.

Ответ: 45 и 90 градусов.

Обзор онлайн-калькуляторов

Оборотной и при этом приятной для школьников стороной частого использования равнобедренного треугольника для расчетов является разработка большого количества вспомогательных сервисов. Многие из них доступны бесплатно и позволяют быстро решить типовые задачи из школьной программы. Некоторые имеют версии для скачивания и установки на мобильные устройства. К числу наиболее известных и востребованных онлайн-калькуляторов равнобедренного треугольника относятся такие:

• https://www.calc.ru/raschet-treugolnika.html;
• https://www.inchcalculator.com/isosceles-triangle-calculator/;
• https://geleot.ru/education/math/geometry/calc/triangle/isosceles_triangle_sides;
• https://ru.numberempire.com/isosceles_triangle_calculator.php.

FAQ

Что понимается под равнобедренным треугольником?

Это треугольник, две стороны которого равны друг другу.

Каковы основные свойства фигуры?

Принято выделять два ключевых: равенство углов, прилегающих к основанию, а также равенство биссектрисы, медианы и высоты, построенных на основание равнобедренного треугольника.

Как определить, что треугольник является равнобедренным?

У фигуры имеется несколько отличительных признаков: равенство двух сторон, равенство двух углов, равенство построенных на основание высоты, биссектрисы и медианы.

Вывод

1. Равнобедренный треугольник входит в число самых распространенных и часто используемых в геометрических расчетах фигур.
2. Он представляет собой треугольник, у которого, как минимум, две стороны равны друг другу.
3. Фигура имеет несколько отличительных признаков и свойств, включая два главных (в дополнение к указанному в определении):
   1. углы у основания равны друг другу;
   2. высота, опущенная на основание, одновременно является медианой и биссектрисой.