Касательная к окружности

Касательная к окружности и ее свойства — сложная для изучения, но очень важная тема, без освоения которой не получится разобраться в других, более трудных задачах с решением уравнений по определению длины касательной к графику функций.

Для подготовки к ОГЭ или ЕГЭ эта тема обязательна к изучению, так как несколько заданий можно решить, только разобравшись со свойствами прямых: касательной, хорды или секущей.

Касательная к окружности – что это

Касательная к окружности — прямая, с единственной точкой пересечения окружности или как ее называют по-другому, точкой касания. Если углубиться в тему касательных, то она может быть кривой и касаться любых фигур и графика функции, но принцип ее определения остается единым — единственная точка пересечения.

На рисунке общая точка касания прямой и окружности Н.

Касательная к окружности vs секущая vs хорда

Многие путают линии, которые касаются, выходят за границы окружности или пресекают ее около центра. Рассмотрим такие прямые, ведь у них нет единой точки, их отличия и свойства секущей и касательной.

Хорда (с греческого χορδή — струна) — прямая, расположенная между 2 точками окружности.

Для решения задач необходимо знать свойство хорды — если длины двух хорд равны, значит, они расположены на одном расстоянии от центра.

Длина хорды вычисляется по формуле:

AB=2Rsinα, где R — радиус.

Секущая — тоже пересекает окружность в 2 точках, но всегда начинается за ее пределами.

Основные свойства секущей:

1. При проведении из одной точки двух прямых: секущей и касательной, тогда длина касательной, возведенной в квадрат, будет равна произведению длины секущей от центра до окружности на длину выступающей за ее пределами части.
   
   
   
2. При проведении из одной точки 2 секущих будет выполняться равенство: произведение длины в окружности на внешнюю часть за ее пределами одной прямой будет равно аналогичному результату другой прямой. Начертим одну секущую прямую АВ (пересекает окружность в точках Е и В) и вторую с границами АС (пересекает окружность в точках С и D). В виде формулы равенство будет выглядеть следующим образом: АС * AD = АВ * АЕ.
   
   
   
3. Угол, образованный двумя секущими, всегда будет равен 50% от разности градусных мер большей и меньшей дуг, которые заключены между секущими (часть окружности между 2 пересекающихся прямых).

Свойства касательной к окружности

Свойства касательной отражены в теоремах и доказательствах.

Рассмотрим теоремы, которые характеризуют свойства касательной прямой:

1. Если радиус проведен в точку касания, то линия, пересекающая ее, всегда будет перпендикулярной.

Доказательство теоремы:

Дано – касательная к окружности с центром в точке О, Н – точка касания

Доказать —

Доказательство:

Предположим, что ОН  . Радиус ОН наклонный к прямой . Линия, соединяющая центр и прямую образуют прямой угол в 90 градусов и меньше наклонной ОН. Получается, длина линии от центра до точки будет короче радиуса. Следовательно, прямая и окружность будут иметь 2 точки, что нарушить признак касательной и не соответствует условию: прямая – касательная, поэтому предположение неверно, а значит

2. Часть 2 прямых, касающихся окружности, проведенных из одной точки будут всегда равны и сформируют равные углы с прямой, которая пересекает такую точку и центр окружности.

Доказательство теоремы:

Дано АВ и АС — касательные к окружности линии с началом в точке О, В и С – точки касания к окружности.

Доказать: АВ = АС и  3 =  4.

Доказательство:

 1 =  2 = 90⁰, т.к. ОВ  АВ, ОС  АС перпендикулярны к радиусу, поэтому треугольники с границами  АВО и  АСО прямоугольные. При этом ОВ=ОС – радиусы, АО общая часть треугольников, следовательно,  АВО =  АСО по 2 гипотенузе и катету. Если треугольники равны, то АВ=АС,  3 =  4.

3. Линия, проходящая перпендикулярно через радиус и имеющая одну точку касания окружности и такого радиуса является касательной.

Доказательство теоремы:

Дано ОН — радиус окружности с центром в точке О, Н  , ОН 

Доказать, что  — касательная.

Доказательство:

По условию радиус касается окружности и перпендикулярен ей ОН  ., поэтому расстояние из точки О да касательной равно радиусу. Значит, прямая и окружность могут иметь только одну общую точку, и прямая из точки О тоже касается окружности и является касательной.

Все теоремы доказаны, и понимая их решить задачу ЕГЭ или контрольной не составит труда.

Онлайн калькуляторы – обзор

Длину касательной к точке можно вычислить исходя из радиуса окружности и расстояния между внешней точкой и центром с помощью этого онлайн-калькулятора касательной к окружности.

Достаточно ввести два параметра и получить решение онлайн.

Если ввести неверные данные, например, расстояние между внешней точкой и центром должно быть больше радиуса, калькулятор укажет на ошибку.

На странице представлена формула, по которой произведен расчет:

l =√ r² - d²

где, l = Касательная к окружности, d = расстояние между внешней точкой и центром окружности, r = радиус

Разберем примеры – задачи и их решение

Рассмотрим задачу, для решения которой необходимо использовать свойства касательной.

Условие: через точку А к окружности с центром О провести касательную А  .

Дано: точка А лежит на окружности с центром в точке О.

Решение:

1. Постройте окружность с помощью циркуля. Обозначьте точкой О центр и поставьте на окружности точку А.
   
   
   
2. Проведите прямую линию из точки О в точку А.
3. Проведите линию перпендикулярно к прямой ОА. Для построения перпендикулярной прямой циркулем из точки А нарисуйте окружность или ее часть, касательно линии ОА. Точки пересечения обозначьте буквами.
   
   
   
4. После того как проведете перпендикулярную линию, постройте еще 2 окружности с центром в точках В и С. Можно полностью окружность не строить, а выделить только места их пересечения друг с другом
5. Выделите точки пересечения двух окружностей на касательной и подпишите их буквами P и Q. Через эти точки проведите касательную к окружности, которая будет перпендикулярной к линии ОА.
   
   
   

Таким образом, перпендикулярна радиусу ОА и касательная к окружности с центром О.

FAQ

Как называется линия, у которой 2 точки пересечения с окружностью?

Если проведем прямую линию ближе к центру, чтобы расстояние до нее было меньше радиуса, то такая линия будет называться секущей. Отрезок, расположенный между точками пересечения обозначенный точками В и С – хорда.

Какие свойства имеет хорда?

Хорда имеет несколько свойств:

• длина хорды всегда меньше диаметра окружности, но больше радиуса;
• если 2 хорды имеют одну и ту же длину, значит они находятся на одинаковом расстоянии от центра;
• если хорда пройдет через центр окружности. То ее длина будет равна диаметру. А она сама будет являться диаметром окружности.

Как применять свойства хорды?

Свойства хорды широко применяют в геометрии и математике для решения разных задач, связанных с окружностью. Например, свойство хорды поможет определить длину или расстояние от центра окружности. И также свойства хорды помогут вычислить углы, длину касательной и других элементов.

Что такое касательная?

Прямая, которая касается окружности только в одной точке. Радиус всегда ей перпендикулярен.

Вывод

Чтобы хорошо усвоить теорию по линиям, которые пересекают или касаются окружности, решайте задачи. Постоянная практика поможет подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ или просто повысить успеваемость в школе.