Факториал

Что такое факториал

Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n, включая это число. Обозначается факториал как !n!. Например:

5!=5×4×3×2×1=120

Факториал используется в комбинаторике для определения количества перестановок или размещений элементов, а также в других областях математики и естественных науках.

Свойства факториала

Вот основные свойства факториала:

1. Рекуррентное определение: Факториал n можно выразить через предыдущее значение факториала, как n!=n×(n−1)!, начиная с базового случая 0!=10!=1.
2. Комбинаторное применение: Факториал используется для вычисления количества перестановок и размещений элементов.
3. Асимптотическое приближение: Для больших значений n, факториал растёт очень быстро. Формула Стирлинга дает асимптотическое приближение для n!.
4. Связь с комбинаторными числами: Факториал связан с биномиальными коэффициентами через сочетания: n!=n(k−1n−1).
5. Интегральное представление: Факториал может быть представлен в виде интеграла, известного как гамма-функция Эйлера.
6. Символы факториала: Факториал используется для определения других функций, таких как двойной факториал, повышенный факториал, и падающий факториал.

Факториал числа n (!n!) вычисляется как произведение всех целых чисел от 1 до n.